PROBLEMAS DE RELACIONES CON DOS VARIABLES
JUSTIFICACIÓN
En la presente unidad se plantean problemas que involucran relaciones simultáneas entre dos variables y se pide una respuesta que corresponde a una tercera variable que resulta de las relaciones previamente mencionadas. En este tipo de problemas la estrategia más apropiada para obtener las soluciones es la construcción de tablas.
De las tres variables que se dan, dos son cualitativas y permiten construir la tabla y la tercera puede ser cualitativa o lógica entre dos o más variables y relaciones entre conceptos. El primer tipo de problemas se resuelven mediante la construcción de Tablas Numéricas; el segundo tipo de problemas se apoya en las Tablas Lógicas y el tercer tipo se trabaja con Tablas Semánticas o conceptuales; en el primer tipo de tablas se registran en las celdas cantidades o números, en el segundo tipo de relaciones lógicas y en el tercero conceptos.
Las Tablas son instrumentos muy útiles para resolver problemas pues permiten organizar la información, visualizar el problema y constituyen una especie de memoria externa que nos ayuda a mantener el record de algunos elementos de información que a veces deben de postergarse para relacionarse con datos que s Edna posteriormente o que se infieren durante el proceso de resolución de los problemas.
Objetivos:
A través de la unidad se pretende que los alumnos sean capaces de:
1. Reconocer los tres tipos de problemas que se estudian en la lección y las estrategias más apropiadas para resolverlos.
2. Aplicar apropiadamente las estrategias para resolver problemas mediante tablas numéricas, lógicas y conceptuales.
3. Resolver problemas que involucren dos o más variables simultáneamente.
Lección 1.- PROBLEMAS DE TABLAS NUMÉRICAS
En esta lección continuamos el estudio de estrategias para la solución de problemas. Veamos a continuación otro ejemplo de problema.
Ejemplo:
Raúl, Eduardo y Patricio tienen un local para la venta de caramelos de miel y chocolate.
Entre los tres tiene 20 caramelos, de los cuales 14 son caramelos de miel y 6 de chocolate. Raúl tiene 0 caramelos de miel y Eduardo tiene el mismo número de caramelos de chocolate. Eduardo en total tiene tres caramelos más que Raúl. ¿Cuántos caramelos de miel tiene Eduardo, y cuantos caramelos de chocolate tiene Patricio si Raúl tiene 5 caramelos en total?
Tenemos un enunciado que da información y plantea una interrogante. Por lo tanto, estamos ante un problema. Inmediatamente podemos observar dos cosas: primero, que la información no está suministrada en términos de relaciones de orden; y segundo, que la variable central es numero de caramelos y requiere de dos calificativos para poder precisarlo, el tipo de objeto y la persona a la cual pertenece los caramelos.
De lo expuesto anteriormente podemos concluir que la estrategia “representación en una dimensión” no nos sirve. La razón principal es que la variable cuantitativa depende de dos variables. Por ejemplo, el primer 3 son objetos de Raúl y son del tipo de caramelos de miel. Para resolver esto podríamos pensar en una cuadrícula donde por un lado ponemos el dueño y por el otro lado ponemos el tipo de objeto, y en el centro en número de objetos. Veamos lo que queremos decir:
En cada cuadro sombreado de color celeste puede colocar el número de objeto, del tipo a que corresponde y de la persona a que pertenece. Sin embrago, en el problema hablan de un total de caramelos de miel o de total d objetos de una de las personas. Para representar esto podríamos añadir otra línea vertical de cuadros que llamamos “columna” y otra línea de cuadros horizontal que llamamos “fila” las cuales sirviera para colocar los totales. En el caso de las columnas, la el recuadro o celda inferior correspondería al total de objetos de la persona que encabeza la columna; y en el caso de las filas, la celda del lado derecho correspondería al total d objetos del tipo de objeto indicado en el lado izquierdo. La celda en el extremo inferior derecho es como un total de totales, o, simplemente el número total de objetos sin distintos de tipo o dueño. El nuevo recuadro quedaría como sigue.
Ahora leemos el problema parte por parte, y vaciamos la información del problema en el cuadro que tenemos preparado.
Todas las informaciones pueden asentarse en el cuadro. Solamente la última información dice que “Eduardo tiene en total tres objetos más que Raúl”, Como no sabemos el total de objetos de Raúl, ponemos una x para recortar la información. Esto no es más que una aplicación de la estrategia de postergación que habíamos en la unidad anterior a este tipo de problemas.
Cuando leemos la pregunta nos informa que la solución que buscamos es para el caso que Raúl tanga en total 5 objetos. Ahora podemos cambiar la X por un 5, y la X+3 por un 8.
Los recuadros o celdas que no están aún llenas podemos calcularlos recordando que los totales son las sumas de las filas o columnas. Así, Raúl tiene 5 objetos y 3 son caramelos de miel, entonces tiene 2 caramelos de chocolate. Si Eduardo tiene 8 objetos y 3 son caramelos de chocolate, entonces tiene 5 caramelos de miel. Si Raúl y Eduardo tienen 2 y 3 películas respectivamente, y el total de caramelos de chocolate es de 6, entonces Patricio debe tener 1 caramelo de chocolate. Haciendo esto para todas las celdas, completamos todas las celdas del recuadro, y queda como sigue:
Ahora podemos contestar las preguntas inspeccionando el recuadro. Eduardo tiene 5 caramelos de miel y Patricio tiene 1 caramelo de Chocolate. Antes de concluir, verificamos que hemos vaciado correctamente los datos, que las operaciones han sido correctamente realizadas y que la inspección es la que corresponde.
Las tablas numéricas
Las tablas numéricas son representaciones gráficas que nos permiten visualizar una variable cuantitativa que depende de dos variables cualitativas. Una consecuencia de que la representación sea de una variable cuantitativa es que se pueden hacer totalizaciones (sumas) de columnas y filas. Este hecho enriquece considerablemente el problema porque abre la posibilidad de generar, adicionalmente, representaciones de una dimensión entre cualquiera de las dos variables cualitativas y la variable cuantitativa. También a deducir valores faltantes operaciones aritméticas.
Ejemplo:
Eloísa, Margot y Silvia practican tres deportes (Básquet, futbol, vóley), y entre las tres tienen 16 pelotas. De los cuatro de Eloísa, la mitad son de básquet y uno de futbol. Margot tiene la misma cantidad de pelotas de Eloísa, pero solo tiene la mitad de las pelotas de básquet y la misma cantidad de pelotas de futbol que Eloísa. Silvia tiene tres pelotas de vóley, pero en cambio tiene tantas pelotas de futbol como pelotas de vóley tiene Margot. ¿Cuántas pelotas de básquet tienen Silvia y cuantas pelotas de cada deporte tiene entre todas?
¿De qué trata el problema?
De identificar el número de pelotas que posee cada una.
¿Cuál es la pregunta?
¿Cuántas pelotas de básquet tienen Silvia y cuantas pelotas de cada deporte tiene entre todas?
¿Cuáles es la variable independiente?
Los nombres
¿Cuáles son las variables independientes?
Tres deportes que practican
Representación:
TABLAS NUMÉRICAS CON CEROS
V amos a continuar nuestro ejemplo incluyendo problemas donde se presentan celdas a las que no les corresponden elementos, por lo tanto, deben ser llenadas con el valor numérico cero.
Ejemplo:
Tres matrimonios, de apellidos Pérez, Gómez y García, tienen en total 10 hijos, Yolanda, que es única hija de los Pérez, tienen solo una hermana y no tiene hermanos. Los Gómez tienen un hijo varón y un par de hijas. Con la excepción de María, todos los otros hijos del matrimonio Jarcia son varones. ¿Cuántos hijos varones tienen los García?
¿De qué trata el problema?
De saber cuál es el número de hijos varones de la familia García
¿Cuál es la pregunta?
¿Cuántos hijos varones tienen los García?
¿Cuál es la variable dependiente?
El nombre de las familias
¿Cuáles son las variables independientes?
El tipo de género de los hijos.
Representación:
Respuesta: los García tienen cuatro hijos varones.
Ejemplo:
Milton, Mortus y Nartis tienen un total 20 mascotas. Milton tiene tres sapos y la misma cantidad de arañas que de murciélagos. Mortus tiene tantas arañas como Milton sapos y murciélagos. Nartis tiene 5 mascotas, una es murciélago y tiene la misma cantidad de sapos que Mortus, que es el mismo número de murciélagos que Milton. Si Milton tiene 7 mascotas, ¿Cuántas y qué clase de mascotas tiene cada uno?
¿De qué trata el problema?
De las mascotas que posee cada uno
¿Cuál es la pregunta?
¿Cuántas y qué clase de mascotas tiene cada uno?
¿Cuál es la variable dependiente?
Nombres
¿Cuáles son las variables independientes?
Tipo de mascotas
Representación:
Respuesta:
Milton tiene 7 macotas y son: 3 sapos, 2 arañas y 2 murciélagos.
Mortus tiene 8 mascotas y son: 3 sapos, 5 arañas y 1 murciélago.
Nartis tiene 5 mascotas y son: 2 sapos, 2 arañas y 1 murciélago
LECCIÓN 2.- PROBLEMAS DE TABLAS LÓGICAS
Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen dos variables cualitativas sobre las cuales puede definirse una variable lógica con base a la veracidad o falsedad relaciones entre las variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representación tabular llamada “tabla lógica”
Ejemplo:
Jorge, Vinicio y Patricio almorzaron con comidas diferentes. Cada uno consumió una de las siguientes comidas: arroz con pollo, sopa de cangrejo y colada morada. Jorge no comió ni arroz con pollo ni colada morada. Vinicio no comió arroz con pollo. ¿Quién comió arroz con pollo y que comió Patricio?
¿De qué trata el problema?
Identificar la clase de comida que consume cada uno.
¿Cuál es la pregunta?
¿Quién comió arroz con pollo y que comió Patricio?
¿Cuáles son las variables independientes?
Los nombres
Representación:
Respuesta:
Patricio es la persona que consumió arroz con pollo.
Estrategia de representación en dos problemas: tablas conceptuales
Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen tres variables cualitativas, dos de las cuales pueden tomarse como independientes y una dependiente. La solución se consigue construyendo una representación tabular llamada “tabla conceptual” basada exclusivamente en las informaciones aportadas en el enunciado.
Ejemplo:
De un total de nueve personas, tres toman la decisión de viajar en auto, tres en avión y los ortos tres restantes en barco. Las nueves personas están divididas en partes iguales en tres españoles, ecuatorianos y chilenos. También, de las nueve personas tres son agrónomos, tres físicos y tres médicos. De las tres personas que viajaron en un mismo medio de transporte (auto, avión y barco), no hay dos o más de la misma nacionalidad o profesión. Si una de las personas que viajaron en el avión es un médico español, una de las personas que viajo en auto es un medico ecuatoriano y en barco un agrónomo ecuatoriano. ¿En qué medio de transporte viajo el médico chileno y el agrónomo español?
¿Qué debemos hacer en primer lugar?
Leer y entender todo el enunciado.
¿De qué trata el problema?
De un total de nueve personas de diferentes nacionalidades y especialidades van a viajar en tres tipos de medios de transporte.
¿Cuál es la pregunta?
¿En qué medio de transporte viajo el médico chileno y el agrónomo español?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Existen tres variables y son: los medios de transporte, las nacionalidades y sus especialidades.
¿Cuáles son las variables independientes?
Las especialidades de las nueve personas.
¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?
Las nacionalidades, porque las nacionalidades son; españoles, ecuatorianos, chilenos
Representación:
Respuesta:
Milton tiene 7 macotas y son: 3 sapos, 2 arañas y 2 murciélagos.
Mortus tiene 8 mascotas y son: 3 sapos, 5 arañas y 1 murciélago.
Nartis tiene 5 mascotas y son: 2 sapos, 2 arañas y 1 murciélago
LECCIÓN 2.- PROBLEMAS DE TABLAS LÓGICAS
ESTRATEGIA DE REPRESENTACIÓN EN DOS DIMENSIONES: TABLAS LÓGICAS
Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen dos variables cualitativas sobre las cuales puede definirse una variable lógica con base a la veracidad o falsedad relaciones entre las variables cualitativas. La solución se consigue construyendo una representación tabular llamada “tabla lógica”
Ejemplo:
Jorge, Vinicio y Patricio almorzaron con comidas diferentes. Cada uno consumió una de las siguientes comidas: arroz con pollo, sopa de cangrejo y colada morada. Jorge no comió ni arroz con pollo ni colada morada. Vinicio no comió arroz con pollo. ¿Quién comió arroz con pollo y que comió Patricio?
¿De qué trata el problema?
Identificar la clase de comida que consume cada uno.
¿Cuál es la pregunta?
¿Quién comió arroz con pollo y que comió Patricio?
¿Cuáles son las variables independientes?
Los nombres
Representación:
Respuesta:
Patricio es la persona que consumió arroz con pollo.
LECCION 3.- PROBLEMAS DE TABLAS CONCEPTUALES
Estrategia de representación en dos problemas: tablas conceptuales
Esta es la estrategia aplicada para resolver problemas que tienen tres variables cualitativas, dos de las cuales pueden tomarse como independientes y una dependiente. La solución se consigue construyendo una representación tabular llamada “tabla conceptual” basada exclusivamente en las informaciones aportadas en el enunciado.
Ejemplo:
De un total de nueve personas, tres toman la decisión de viajar en auto, tres en avión y los ortos tres restantes en barco. Las nueves personas están divididas en partes iguales en tres españoles, ecuatorianos y chilenos. También, de las nueve personas tres son agrónomos, tres físicos y tres médicos. De las tres personas que viajaron en un mismo medio de transporte (auto, avión y barco), no hay dos o más de la misma nacionalidad o profesión. Si una de las personas que viajaron en el avión es un médico español, una de las personas que viajo en auto es un medico ecuatoriano y en barco un agrónomo ecuatoriano. ¿En qué medio de transporte viajo el médico chileno y el agrónomo español?
¿Qué debemos hacer en primer lugar?
Leer y entender todo el enunciado.
¿De qué trata el problema?
De un total de nueve personas de diferentes nacionalidades y especialidades van a viajar en tres tipos de medios de transporte.
¿Cuál es la pregunta?
¿En qué medio de transporte viajo el médico chileno y el agrónomo español?
¿Cuántas y cuales variables tenemos en el problema?
Existen tres variables y son: los medios de transporte, las nacionalidades y sus especialidades.
¿Cuáles son las variables independientes?
Las especialidades de las nueve personas.
¿Cuál es la variable dependiente? ¿Por qué?
Las nacionalidades, porque las nacionalidades son; españoles, ecuatorianos, chilenos
Representación:
Respuesta:
El médico chileno viajo en barco y el agrónomo español viajo en auto.
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